Решения задач письменного тура олимпиады пятиклассников 2009
Часть А
1. На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и семнадцатой справа. Сколько книг на полке?
Ответ: 21 книга.
Решение. Слева до энциклопедии стоит 4 книги, а справа — 16 книг. Всего 4+16+1=21.
2. 5 окуней легче 6-ти карасей, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее — 2 карася или 3 леща?
Ответ: тяжелее 2 карася.
Решение. Из условия следует, что 6 карасей тяжелее 10 лещей. То есть 3 карася тяжелее 5 лещей. Значит, карась тяжелее леща и 4 карася тяжелее 6 лещей.
3. Лиса, Волк и Заяц сыграли в домино. Заяц сказал: «Волк глупее лисы». Волк: «Лиса выиграла». Известно, что один из зверей — самый глупый — соврал. Выиграл же самый умный зверь. Кто это был?
Ответ: Заяц.
Решение. Поскольку самый глупый зверь соврал, то это либо заяц, либо волк. Если солгал заяц, то, значит, волк сказал правду. Тогда лиса выиграла и волк не глупее лисы, но тогда лиса не может быть самой умной и по условию не может выиграть. Противоречие. Если же солгал волк, то выиграла не лиса и верно, что волк глупее лисы. Но тогда волк не мог выиграть и, значит, выиграл заяц.
4. Костя мечтает: «Если бы у меня было конфет в три раза больше, чем сейчас, то у меня было бы на 12 конфет больше». Сколько конфет у Кости?
Ответ: 6 конфет.
Решение. Если конфет будет в три раза больше, то 12 конфет составляют две трети от того, что было бы, значит одна треть равна 6.
5. Отличница Настя составила огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123456789101112...498499500.
Двоечник Миша стер у этого числа первые 200 цифр. С какой цифры начинается оставшееся число?
Ответ: 3.
Решение. У всех однозначных чисел всего 9 цифр. Сосчитаем, сколько цифр у двузначных чисел. Двузначных чисел 90, значит цифр 180. Так как вычеркнуто 200 цифр, то вычеркнуто 11 цифр трехзначных чисел. Это 100, 101, 102 и 10.
6. Лида вяжет шарф длиной 2м. Каждое утро она садится за вязание и вяжет 30см. Каждую ночь котенок Непоседа распускает 20см связанного шарфа. Лида начала вязать 1 февраля. Какого числа шарф будет связан?
Ответ: 18 февраля.
Решение. За каждый сутки длина шарфа увеличивается на 10см. Значит утром 18 февраля шарф будет длиной 170см. Связав к вечеру еще 30см, Лида довяжет шарф.
7. Чему равна сумма 123456789 + 234567891 + 345678912 + ... +912345678 ?
Ответ: 4 999 999 995.
Решение. Поскольку в каждом разряде побывают все цифры, то требуется сумму всех цифр умножить на 111 111 111.
8. В одной сказочной стране Лилипуты и Гуливеры построили рядом многоэтажные дома, которые соединены горизонтальным переходом с 5-го этажа дома Гуливеров на 25-ый этаж дома Лилипутов.
(а) Пол какого этажа Лилипутов напротив пола 10 этажа Гуливеров?
(б) Во сколько раз этаж Гуливеров выше этажа Лилипутов?
Ответ: (а) 55; (б) в 6 раз.
Решение. Высота четырех этажей дома Гуливеров равна высоте 24 этажей дома Лилипутов. Значит на один этаж Гуливеров приходится 6 этажей Лилипутов.
9. Встретились три мальчика: Вася, Лёша и Миша. Вася сказал: «Мы все лжецы». Лёша сказал: «Мы все всегда говорим правду». А Миша промолчал. Сколько лжецов среди ребят?
Ответ: два.
Решение. Утверждение Васи не может быть верно, так как если все лжецы, то Вася должен лгать, а он сказал правду. Значит, говорящий правду точно есть. И лжец тоже есть (Вася) Тогда утверждение Лёши тоже неверно. Следовательно, два лжеца точно есть (Вася и Лёша). Тогда Миша — не лжец.
10. В городе Урюпинске на главной площади города устроили каток странной формы (см.план справа). Какова площадь катка, если площадь одной клеточки на плане 1м2 ?
Ответ: 46,5м2.
Решение. Размер всей площади 70м2 (=7×10) Чтобы найти площадь катка, нужно из 70 вычесть площадь внешней области. Заметим, что серые треугольники равны и, соответственно, равны их площади. Каждый из них есть половина прямоугольника 1×2, то есть площадь каждого их них равна 1м2. Из трех оставшихся белых треугольников два равны и составляют вместе квадрат 2×2, а третий есть половина от прямоугольника 1×3 и, следовательно, его площадь равна 1,5 м2. Суммируя найденные площади и площадь темных клеток, получаем 5 + 4 + 1,5 +13 = 23,5.
11. Первого сентября в школе начались занятия кружков пения, рисования, по математике и по физике. Кружок пения проходит через два дня на третий, рисования — каждый 4-й день, кружок по математике — каждый 5-й день и по физике- каждый 6-й день. Кружки ведутся и в выходные, и в каникулы.
(а) Сколько было осенью дней, когда собирались все четыре кружка?
(б) Сколько занятий кружка по математике было осенью?
Ответ: (а) два; (б) 16.
Решение. Осенью (с 1 сентября по 30 ноября) 91 день. Кружок математики проходит один раз в 6 дней. 91 = 6×15 + 1. Поскольку 1 сентября занятия тоже были, то в оставшиеся 90 дней было ровно 15 занятий. Чтобы все четыре кружка после 1 сентября снова были в один день, нужно, чтобы прошло НОК(3;4;5;6)=60 дней. Второй раз (когда пройдет еще 60 дней) это случится уже после ноября.
Часть Б
1. В зимней математической школе начальник смены повел школьников кататься на лыжах. Начало и конец маршрута — в точке С (см.рис.). Могли ли школьники пройти 10 километров по этому маршруту?
Ответ: не могли.
Решение. Заметим, что сумма длин горизонтальных стрелок на плане равно удвоенному расстоянию, пройденному вправо, то есть 6км. Аналогично для вертикальных стрелок. Таким образом, школьники прошли 12км, а не 10.
2. Аня, Саша и Витя и Настя решали контрольную, на которой задали 9 задач. Могло ли быть так, что Аня списала семь задач у Саши, Саша списал семь задач у Вити, Витя списал семь задач у Насти, а Настя списала семь задач у Ани?
Ответ: не может.
Решение. Если Настя списала семь задач, то их кто-то должен был решить, но Аня, Саша и Витя решили не более, чем по две задачи каждый, то есть не более 6 задач.
3. Юля, Семен, Василиса, Илларион и Татьяна Петровна ели конфеты (причем, не деля их на части). Когда все конфеты кончились, их спросили: «Кто сколько съел конфет?» На что они ответили:
Юля: «Я и Василиса съели 97 конфеты»;
Семен: «Я и Илларион съели 234 конфеты»;
Василиса: «Я, Семен и Татьяна Петровна съели 153 конфет»;
Илларион: «Я, Татьяна Петровна и Юля съели 277 конфет».
После этого Татьяна Петровна сказала, что так быть не могло. Почему она пришла к такому выводу?
Решение. Запишем условие задачи в виде уравнений: Ю+В=97; С+И=234; В+С+ТП=153; И+ТП+Ю=277. Тогда, складывая эти уравнения, получим, что 2(Ю+В+С+И+ТП) = 97+234+153+277 — нечетное число. Противоречие.
4. У Буратино есть 6 монет: две золотые, две серебряные и две медные. В каждой паре одна монета настоящая, а другая фальшивая. Известно, что все настоящие монеты весят одинаково и все фальшивые тоже весят одинаково. Фальшивые легче настоящих. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти все настоящие монеты?
Решение. Обозначим монеты З1, З2, С1, С2, М1, М2. Первым взвешиванием взвесим пару З1 и С1 с парой З2 и М1. Разберем два случая: весы в равновесии. Поскольку среди золотых ровно одна фальшивая, то и среди С1 и М1 ровно одна фальшивая и ровно одна настоящая. И на каждой чаше лежит одна настоящая и одна фальшивая. Тогда вторым взвешиванием взвесим С2 и М2. Равновесие уже невозможно, поэтому мы в любом случае определим, какая из монет легче. Пусть это М2, тогда М1, С2 и З2 настоящие. Если же это С2, то настоящие М2, С1 и З1. Одна чаша перевесила. Пусть тяжелее З1 и С1 (второй вариант разбирается аналогично). Это означает, что З1 точно настоящая, З2 — фальшивая. Для пары С1;М1 возможны варианты НН, ФФ и НФ, варианта ФН быть не может. Теперь вторым взвешиванием взвесим обе золотые монеты с парой С2 и М2. Если весы окажутся в равновесии, то означает, что реализуется вариант НФ, если золотые перевесят, то обе монеты С2 и М2 фальшивые, если же перевесит чаша с серебряной и медной монетой, то они обе настоящие.
5. Клетки тетрадного листа раскрашены в 8 цветов.Докажите, что найдется фигура вида 
, внутри которой есть две клетки одного цвета.
Решение. Рассмотрим на этом клетчатом листе квадратик 3×3 клетки. Для любых двух клеток этого квадрата найдется фигура заданного вида, что эти клетки принадлежат этой фигуре. Но тогда, поскольку в квадрате 3×3 содержится 9 клеток, а цветов только 8, то найдутся две клетки одного цвета. Фигура, содержащая эти две клетки и будет искомой.